Matemática discreta Ejemplos

$\log_{12} (x + 1) + \log_{12} (x) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{12} ((x + 1) x) = 1$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{12} (x \cdot x + 1 x) = 1$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{12} (x^{2} + 1 x) = 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\log_{12} (x^{2} + x) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{12} (x^{2} + x) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$12^{1} = x^{2} + x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + x = 12^{1}$ .

$x^{2} + x = 12$

Paso 3.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.6

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 4$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{12} (x + 1) + \log_{12} (x) = 1$ sea verdadera.

$x = 3$